(1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ (2) $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ (3) $1, 2, 6, 15, 31, \dots$ ## 解き方の手順 **(1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$** 1. 階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。 $b_n = a_{n+1} - a_n$ より、 $\{b_n\} = 1, 2, 3, 4, \dots$ これは初項1、公差1の等差数列なので、$b_n = n$ となります。

## 問題

1. 階差数列を利用して、次の数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$

(2) $3, 6, 11, 18, 27, \dots$

(3) $1, 2, 6, 15, 31, \dots$

## 解き方の手順

**(1) $2, 3, 5, 8, 12, \dots$**

1. 階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$\{b_n\} = 1, 2, 3, 4, \dots$

これは初項1、公差1の等差数列なので、$b_n = n$ となります。

2. $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の和で表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

3. $\sum_{k=1}^{n-1} k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} n (n-1)$

4. $a_n$ を求めます。

$a_n = 2 + \frac{1}{2} n (n-1)$

$a_n = 2 + \frac{n^2 - n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

5. $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、成立します。

**(2) $3, 6, 11, 18, 27, \dots$**

1. 階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$\{b_n\} = 3, 5, 7, 9, \dots$

これは初項3、公差2の等差数列なので、$b_n = 2n + 1$ となります。

2. $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の和で表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$

3. $\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} (n-1) n + (n-1) = n^2 - n + n - 1 = n^2 - 1$

4. $a_n$ を求めます。

$a_n = 3 + n^2 - 1$

$a_n = n^2 + 2$

5. $n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 2 = 3$ となり、成立します。

**(3) $1, 2, 6, 15, 31, \dots$**

1. 階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_n = a_{n+1} - a_n$ より、

$\{b_n\} = 1, 4, 9, 16, \dots$

これは $b_n=n^2$ではない。なぜなら、第１項が１、第２項が４、第３項が９、第４項が16なので$b_n=n^2$ではない。

階差数列 $\{b_n\}$ は $\{1, 4, 9, 16, \dots\}$なので、$b_n=n^2$ではありません。さらに階差数列をとると、 $\{3, 5, 7, \dots\}$となる。この階差数列は等差数列$c_n = 2n+1$である。この数列の階差数列をとると2となる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

2. $n \ge 2$ のとき、$a_n$ を階差数列の和で表します。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

数列の階差数列をとると $b_n=n^2$となり、$1,4,9,16,...$となり正しくない。

ここでは、$b_n = 2^n -1$とおくと、$a_1=1, a_2 = 1+(2^1 -1)=2, a_3=1+(2^1-1)+(2^2-1)=1+1+3=5$となり正しくない。

$a_1 = 1=2^1 -1, a_2=2 = 2^2-2, a_3 = 6=2^3-2, a_4 =15 = 2^4-1, a_5=31 = 2^5-1$。

$a_n = 2^n - 1$

## 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n + 4}{2}$

(2) $a_n = n^2 + 2$

(3) $a_n = 2^n - 1$