与えられた3次不等式 $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \le 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次不等式 $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \le 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の左辺を因数分解します。

$P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ とおくと、$P(2) = 8 + 8 - 10 - 6 = 0$ より、$x=2$は$P(x) = 0$の解です。したがって、$P(x)$は$x-2$を因数に持ちます。

筆算または組立除法により、$P(x)$を$x-2$で割ると、$x^2 + 4x + 3$となります。

$x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x - 2)(x^2 + 4x + 3)$

さらに、$x^2 + 4x + 3$を因数分解すると、$(x+1)(x+3)$となります。

したがって、不等式は次のように書き換えられます。

$(x - 2)(x + 1)(x + 3) \le 0$

(2) 不等式の解を求めます。

$(x - 2)(x + 1)(x + 3) = 0$となるのは、$x = 2, -1, -3$ のときです。

これらの値を数直線上に配置し、不等号を満たす範囲を調べます。

- $x < -3$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 < 0$, $x+3 < 0$なので、$(x-2)(x+1)(x+3) < 0$となります。

- $-3 < x < -1$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 < 0$, $x+3 > 0$なので、$(x-2)(x+1)(x+3) > 0$となります。

- $-1 < x < 2$ のとき、$x-2 < 0$, $x+1 > 0$, $x+3 > 0$なので、$(x-2)(x+1)(x+3) < 0$となります。

- $x > 2$ のとき、$x-2 > 0$, $x+1 > 0$, $x+3 > 0$なので、$(x-2)(x+1)(x+3) > 0$となります。

不等式$(x - 2)(x + 1)(x + 3) \le 0$を満たす範囲は、$x \le -3$ および $-1 \le x \le 2$です。

3. 最終的な答え

$x \le -3, -1 \le x \le 2$