与えられた条件を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。条件は、関数 $F(x)$ の導関数 $F'(x)$ が $6x^2 + 3$ であり、$F(2) = 13$ であることです。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。条件は、関数 $F(x)$ の導関数 $F'(x)$ が $6x^2 + 3$ であり、$F(2) = 13$ であることです。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。次に、$F(2) = 13$ の条件を用いて積分定数を決定します。

ステップ1: $F'(x)$ の積分

$F'(x) = 6x^2 + 3$ を積分します。

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F(x) = \int (6x^2 + 3) \, dx

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F(x) = 6 \int x^2 \, dx + 3 \int 1 \, dx

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F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x + C

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F(x) = 2x^3 + 3x + C

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ここで、$C$ は積分定数です。

ステップ2: 積分定数 $C$ の決定

$F(2) = 13$ の条件を用いて、$C$ の値を求めます。

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F(2) = 2(2)^3 + 3(2) + C = 13

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2(8) + 6 + C = 13

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16 + 6 + C = 13

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22 + C = 13

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C = 13 - 22

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C = -9

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ステップ3: 関数 $F(x)$ の決定

求めた積分定数 $C = -9$ を $F(x)$ に代入します。

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F(x) = 2x^3 + 3x - 9

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3. 最終的な答え

$F(x) = 2x^3 + 3x - 9$