多項式 $P(x) = 2x^3 + 5ax^2 + ax + 1$ を $x+1$ で割った余りが $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 + 5ax^2 + ax + 1$ を $x+1$ で割った余りが $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りは $P(-1)$ に等しい。したがって、$P(-1) = -5$ である。

$P(-1)$ を計算する。

$P(-1) = 2(-1)^3 + 5a(-1)^2 + a(-1) + 1$

$P(-1) = -2 + 5a - a + 1$

$P(-1) = 4a - 1$

$P(-1) = -5$ より、

$4a - 1 = -5$

$4a = -4$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$