等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = \sqrt{3} - 1$、$a_2 = 4 - 2\sqrt{3}$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。

## 問題 48 (1)

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = \sqrt{3} - 1$、$a_2 = 4 - 2\sqrt{3}$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の公比 $r$ を求める。

$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} - 1}$

分母を有理化する。

$r = \frac{2(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(2\sqrt{3} + 2 - 3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1$

したがって、$r = \sqrt{3} - 1$ である。

無限等比級数の和を求める公式は、 $|r| < 1$ のとき、$S = \frac{a_1}{1 - r}$ である。

$|r| = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732 < 1$ なので、無限等比級数は収束する。

したがって、無限等比級数の和は、

$S = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 - (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 - \sqrt{3}}$

分母を有理化する。

$S = \frac{(\sqrt{3} - 1)(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - 2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + 1$

## 問題 48 (2)

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ であるとき、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ を求める。$a_n = S_n - S_{n-1}$ であり、$a_1 = S_1$ である。

$a_1 = S_1 = 1^3 + 3(1^2) + 2(1) = 1 + 3 + 2 = 6$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 3n^2 + 2n) - ((n-1)^3 + 3(n-1)^2 + 2(n-1))$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 3(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2)$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2)$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 + 3n - 6n + 2n - 1 + 3 - 2)$

$= (n^3 + 3n^2 + 2n) - (n^3 -n)$

$= 3n^2 + 3n = 3n(n+1)$

ここで、$n = 1$ のとき、$3(1)(1+1) = 6$ となり、$a_1$ の値と一致する。

したがって、$a_n = 3n(n+1)$ と表せる。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n(n+1)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ なので、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... = 1$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$