問題36は、(1) 7個の文字a, a, a, b, b, c, cの全部を1列に並べるときの並べ方を求める問題、(2) 8個の数字1,1,1,2,3,3,3,3の全部を使ってできる8桁の数を求める問題です。 問題37は、1から15までの番号が書かれた15枚のカードから6枚を選ぶとき、選んだ6枚のうち4枚が偶数、2枚が奇数となるような選び方が何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

問題36は、(1) 7個の文字a, a, a, b, b, c, cの全部を1列に並べるときの並べ方を求める問題、(2) 8個の数字1,1,1,2,3,3,3,3の全部を使ってできる8桁の数を求める問題です。

問題37は、1から15までの番号が書かれた15枚のカードから6枚を選ぶとき、選んだ6枚のうち4枚が偶数、2枚が奇数となるような選び方が何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

問題36 (1):

7個の文字を並べる総数は7!ですが、同じ文字が複数個あるため、それらの並び順で割る必要があります。aが3個、bが2個、cが2個あります。

したがって、並べ方の総数は、

$\frac{7!}{3!2!2!}$

$= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)}$

$= \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{6 \times 2 \times 2}$

$= 7 \times 6 \times 5 = 210$

問題36 (2):

8個の数字を並べる総数は8!ですが、同じ数字が複数個あるため、それらの並び順で割る必要があります。1が3個、3が4個あります。

したがって、8桁の数の総数は、

$\frac{8!}{3!4!}$

$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

$= 8 \times 7 \times 5 = 280$

問題37:

1から15までの数の中に、偶数は7個（2, 4, 6, 8, 10, 12, 14）、奇数は8個（1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15）あります。

6枚のカードを選び、そのうち4枚が偶数、2枚が奇数となる選び方は、

7個の偶数から4個を選び、8個の奇数から2個を選ぶ組み合わせの数を計算します。

偶数の選び方は $_{7}C_{4}$ であり、奇数の選び方は $_{8}C_{2}$ です。

したがって、選び方の総数は、

$_{7}C_{4} \times _{8}C_{2} = \frac{7!}{4!3!} \times \frac{8!}{2!6!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 35 \times 28 = 980$

3. 最終的な答え

問題36 (1): 210通り

問題36 (2): 280個

問題37: 980通り