異なる色の9個の玉を、指定された個数の組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に分けて場合の数を計算します。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された個数の組に分ける場合の数を求める問題です。具体的には、以下の4つの場合に分けて場合の数を計算します。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の組に分ける場合

まず、9個から4個を選ぶ組み合わせは $_{9}C_{4}$通りです。

次に、残りの5個から3個を選ぶ組み合わせは $_{5}C_{3}$通りです。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは $_{2}C_{2}$通りです。

したがって、場合の数は、

$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}$

(2) A, B, Cの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個からAに3個を選ぶ組み合わせは $_{9}C_{3}$通りです。

次に、残りの6個からBに3個を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{3}$通りです。

最後に、残りの3個からCに3個を選ぶ組み合わせは $_{3}C_{3}$通りです。

したがって、場合の数は、

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}$

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

(2)と同様に考えると、$\frac{9!}{3!3!3!}$通りですが、組に区別がないので、3!で割る必要があります。

したがって、場合の数は、

$\frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{9!}{3!3!3!} \times \frac{1}{6}$

(4) 2個、2個、2個、3個の組に分ける場合

まず、9個から3個を選ぶ組み合わせは $_{9}C_{3}$通りです。

次に、残りの6個から2個を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{2}$通りです。

次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{2}$通りです。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは $_{2}C_{2}$通りです。

2個の組に区別がないので、3!で割る必要があります。

したがって、場合の数は、

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2} \times \frac{1}{3!} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \times \frac{1}{3!} = \frac{9!}{3!(2!)^33!} = \frac{9!}{3!2!2!2!3!} = \frac{9!}{3! (2!)^3} \cdot \frac{1}{3!}$

$=\frac{9!}{3! (2!)^3 3!}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9!}{4!3!2!} = 1260$ 通り

(2) $\frac{9!}{3!3!3!} = 1680$ 通り

(3) $\frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通り

(4) $\frac{9!}{3!2!2!2!3!} = \frac{9!}{3! (2!)^3 3!} = \frac{362880}{6 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{362880}{288} = 1260$ 通り