図のような道のある地域で、以下の問いに答える問題です。 (1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

図のような道のある地域で、以下の問いに答える問題です。

(1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短の道順

AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動する経路です。

したがって、7回の移動のうち、右に移動する4回を選べば良いので、組み合わせの数で計算できます。

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{}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

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(2) AからCを通ってBまで行く最短の道順

AからCまで行く最短経路は、右に1回、上に1回移動する経路です。

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{}_2 C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2

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CからBまで行く最短経路は、右に3回、上に2回移動する経路です。

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{}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

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したがって、AからCを通ってBまで行く最短の道順は、

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2 \times 10 = 20

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通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く最短の道順

AからBまで行く最短の道順から、AからCを通ってBまで行く最短の道順を引けば良いです。

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35 - 20 = 15

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3. 最終的な答え

(1) 35通り

(2) 20通り

(3) 15通り