与えられた6つの式をそれぞれ計算し、簡略化された形で答えを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの式をそれぞれ計算し、簡略化された形で答えを求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $(\sqrt{7}-5)(\sqrt{7}-6)$

分配法則を使って展開します。

$(\sqrt{7}-5)(\sqrt{7}-6) = \sqrt{7}\sqrt{7} -6\sqrt{7} -5\sqrt{7} + 30 = 7 - 11\sqrt{7} + 30$

$7 - 11\sqrt{7} + 30 = 37 - 11\sqrt{7}$

(2) $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)-(\sqrt{2}-1)^2$

$(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$ は和と差の積なので $(\sqrt{7})^2 - 2^2 = 7 - 4 = 3$ となります。

$(\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} + 1 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$

したがって、

$3 - (3 - 2\sqrt{2}) = 3 - 3 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

(3) $\frac{12}{\sqrt{6}} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$

$\frac{12}{\sqrt{6}}$ を有理化すると、$\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

したがって、

$2\sqrt{6} - (5 + 2\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 5 - 2\sqrt{6} = -5$

(4) $(2\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{54} - \sqrt{12}) - \frac{10}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$

$(2\sqrt{6} + \sqrt{3})(3\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) = 6(6) - 4\sqrt{18} + 3\sqrt{18} - 2(3) = 36 - \sqrt{18} - 6 = 30 - \sqrt{9 \times 2} = 30 - 3\sqrt{2}$

したがって、

$30 - 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 30 - 8\sqrt{2}$

(5) $(\sqrt{10} - \sqrt{6} - 2)(\sqrt{10} + 2 + \sqrt{6})$

$(\sqrt{10} - (\sqrt{6} + 2))(\sqrt{10} + (\sqrt{6} + 2)) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6} + 2)^2 = 10 - (6 + 4\sqrt{6} + 4) = 10 - (10 + 4\sqrt{6}) = 10 - 10 - 4\sqrt{6} = -4\sqrt{6}$

(6) $(\sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{8} + \sqrt{16})^2$

$\sqrt{4} = 2$

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{16} = 4$

$(\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2} + 4)^2 = (3\sqrt{2} + 6)^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2(3\sqrt{2})(6) + 6^2 = 18 + 36\sqrt{2} + 36 = 54 + 36\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $37 - 11\sqrt{7}$

(2) $2\sqrt{2}$

(3) $-5$

(4) $30 - 8\sqrt{2}$

(5) $-4\sqrt{6}$

(6) $54 + 36\sqrt{2}$