(1) 正の整数 $n$ を3で割ると2余り、7で割ると6余る。このような $n$ の中で最小のものを求めよ。 (2) 正の整数 $m$ を3で割ると2余り、7で割ると6余り、11で割ると5余る。このような $m$ の中で最小のものを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 正の整数 $n$ を3で割ると2余り、7で割ると6余る。このような $n$ の中で最小のものを求めよ。

(2) 正の整数 $m$ を3で割ると2余り、7で割ると6余り、11で割ると5余る。このような $m$ の中で最小のものを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n$ を3で割ると2余るので、$n = 3k + 2$ ($k$ は整数)と表せる。

また、$n$ を7で割ると6余るので、$n = 7l + 6$ ($l$ は整数)と表せる。

したがって、$3k + 2 = 7l + 6$ より、$3k = 7l + 4$となる。

$k = \frac{7l + 4}{3}$

$l=2$ のとき、$k = \frac{14+4}{3} = \frac{18}{3} = 6$ は整数になる。

$n = 3k + 2 = 3(6) + 2 = 18 + 2 = 20$

$n = 7l + 6 = 7(2) + 6 = 14 + 6 = 20$

よって、$n = 20$は条件を満たす。

$3$と$7$の最小公倍数は$21$なので、一般解は $n = 20 + 21t$ ($t$は整数)。

最小の$n$は$t=0$のとき、$n = 20$。

(2)

$m$ を3で割ると2余るので、$m = 3k + 2$ ($k$ は整数)と表せる。

$m$ を7で割ると6余るので、$m = 7l + 6$ ($l$ は整数)と表せる。

$m$ を11で割ると5余るので、$m = 11p + 5$ ($p$ は整数)と表せる。

したがって、$3k + 2 = 7l + 6 = 11p + 5$ となる。

まず、$3k + 2 = 7l + 6$ より、$3k = 7l + 4$となる。

$k = \frac{7l + 4}{3}$

$l=2$ のとき、$k = \frac{14+4}{3} = \frac{18}{3} = 6$ は整数になる。

このとき、$m = 3(6) + 2 = 20$, $m = 7(2) + 6 = 20$

次に、$m = 20 + 21t = 11p + 5$ を満たす $t$と$p$ を探す。

$20 + 21t = 11p + 5$ より、$21t + 15 = 11p$

$p = \frac{21t + 15}{11}$

$t = 5$ のとき、$p = \frac{21(5) + 15}{11} = \frac{105 + 15}{11} = \frac{120}{11}$ は整数にならない。

$t = 6$ のとき、$p = \frac{21(6) + 15}{11} = \frac{126 + 15}{11} = \frac{141}{11}$ は整数にならない。

$t = 7$ のとき、$p = \frac{21(7) + 15}{11} = \frac{147 + 15}{11} = \frac{162}{11}$ は整数にならない。

$t = 8$ のとき、$p = \frac{21(8) + 15}{11} = \frac{168 + 15}{11} = \frac{183}{11}$ は整数にならない。

$t = 9$ のとき、$p = \frac{21(9) + 15}{11} = \frac{189 + 15}{11} = \frac{204}{11}$ は整数にならない。

$t = 10$ のとき、$p = \frac{21(10) + 15}{11} = \frac{210 + 15}{11} = \frac{225}{11}$ は整数にならない。

$t = 1$ のとき、$p = \frac{21(1) + 15}{11} = \frac{36}{11}$ は整数にならない。

$21$と$11$の最小公倍数は$231$なので、$m = 20 + 231n$ と表せる。

$n = 0$のとき、$m=20$。

$20$を$11$で割ると、$20 = 11(1) + 9$となり、$5$余らないので、$m=20$は条件を満たさない。

$m = 3k + 2 = 7l + 6 = 11p + 5$

$3, 7, 11$の最小公倍数は、$3 \times 7 \times 11 = 231$なので、一般解は$m = 231t + a$ の形になるはず。

$m = 231t + 20$の形では$t=0$のとき、$20$を$11$で割ると$9$余り、条件を満たさない。

$m=3a+2$

$m=7b+6$

$m=11c+5$

$3a+2 = 7b+6$

$3a = 7b+4$

$a = \frac{7b+4}{3} = 2b+1+\frac{b+1}{3}$

$\frac{b+1}{3}$が整数となるためには、$b+1=3k$ となる$k$が存在する必要がある。

$b=3k-1$

$m=7(3k-1)+6 = 21k -7 +6 = 21k - 1$

$21k-1 = 11c+5$

$21k = 11c+6$

$k = \frac{11c+6}{21}$

$c=3$のとき，$k=\frac{33+6}{21} = \frac{39}{21} = \frac{13}{7}$

$c=4$のとき，$k=\frac{44+6}{21} = \frac{50}{21}$

$c=5$のとき，$k=\frac{55+6}{21} = \frac{61}{21}$

$c=6$のとき，$k=\frac{66+6}{21} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7}$

$c=15$のとき，$k=\frac{165+6}{21} = \frac{171}{21} = \frac{57}{7}$

$c=16$のとき，$k=\frac{176+6}{21} = \frac{182}{21} = \frac{26}{3}$

$c=17$のとき，$k=\frac{187+6}{21} = \frac{193}{21}$

$c=20$のとき、$k=\frac{220+6}{21} = \frac{226}{21}$

$c=30$のとき，$k=\frac{330+6}{21} = \frac{336}{21} = 16$

$c=30$のとき，$k=16$

$m = 21k - 1 = 21 \times 16 - 1 = 336 - 1 = 335$

$m = 11 \times 30 + 5 = 330 + 5 = 335$

$m=335$

$335 = 3 \times 111 + 2$

$335 = 7 \times 47 + 6$

$335 = 11 \times 30 + 5$

3. 最終的な答え

(1) 20

(2) 335