$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $a, b$ (2) $a^2 + b^2$ (3) $\frac{a}{b}$

1. 問題の内容

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $a, b$

(2) $a^2 + b^2$

(3) $\frac{a}{b}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ を有理化する。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(3-\sqrt{3})}{2} = 3 - \sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3}$ の近似値を考える。$1 < \sqrt{3} < 2$ である。より詳しく、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ なので、$3 - 1.8 < 3 - \sqrt{3} < 3 - 1.7$、つまり、$1.2 < 3 - \sqrt{3} < 1.3$ である。

したがって、$a = 1$ である。

$b$ は小数部分なので、$b = (3 - \sqrt{3}) - 1 = 2 - \sqrt{3}$ となる。

(1) $a = 1, b = 2 - \sqrt{3}$

(2) $a^2 + b^2 = 1^2 + (2 - \sqrt{3})^2 = 1 + (4 - 4\sqrt{3} + 3) = 1 + 7 - 4\sqrt{3} = 8 - 4\sqrt{3}$

(3) $\frac{a}{b} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 2 - \sqrt{3}$

(2) $a^2 + b^2 = 8 - 4\sqrt{3}$

(3) $\frac{a}{b} = 2 + \sqrt{3}$