奇数を2乗して19を足すと4の倍数になることを、文字式を使って証明する問題です。奇数は $2n+1$ （$n$ は整数）と表されることを前提として、証明を完成させます。

1. 問題の内容

奇数を2乗して19を足すと4の倍数になることを、文字式を使って証明する問題です。奇数は $2n+1$ （$n$ は整数）と表されることを前提として、証明を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、$2n+1$ を2乗して19を足した式を計算します。

$(2n+1)^2 + 19$

次に、展開して整理します。

$= 4n^2 + 4n + 1 + 19$

$= 4n^2 + 4n + 20$

最後に、4でくくり、4の倍数であることを示します。

$= 4(n^2 + n + 5)$

$n$ は整数なので、$n^2 + n + 5$ も整数です。したがって、$4(n^2 + n + 5)$ は4の倍数になります。

3. 最終的な答え

証明の続きは以下のようになります。

$(2n+1)^2 + 19 = 4n^2 + 4n + 1 + 19 = 4n^2 + 4n + 20 = 4(n^2 + n + 5)$

$n^2 + n + 5$ は整数なので、$4(n^2 + n + 5)$ は4の倍数である。

よって、奇数を2乗して19を足すと4の倍数になる。