$x$ は実数とします。次の命題の真偽を調べてください。 1. $1<x<2 \implies 1<x<3$ 2. $x<1 \implies 0<x<1$ 3. $x>3 \implies |x+1|>2$ 4. $|x|\le 2 \implies |x-1|<3$ **問題5** $x, y$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題は偽です。反例を1つあげてください。 1. $x^2=3 \implies x=\sqrt{3}$ 2. $|x|>|y| \implies x>y$ 3. $n$ は奇数 $\implies 10n+1$ は素数 **問題4の解答** 1. 問題の内容 $x$は実数であるとして、与えられた命題の真偽を判定します。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**問題4**

1. 問題の内容

$x$ は実数とします。次の命題の真偽を調べてください。

1. $1<x<2 \implies 1<x<3$

2. $x<1 \implies 0<x<1$

3. $x>3 \implies |x+1|>2$

4. $|x|\le 2 \implies |x-1|<3$

**問題5**

$x, y$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題は偽です。反例を1つあげてください。

1. $x^2=3 \implies x=\sqrt{3}$

2. $|x|>|y| \implies x>y$

3. $n$ は奇数 $\implies 10n+1$ は素数

**問題4の解答**

1. 問題の内容

$x$は実数であるとして、与えられた命題の真偽を判定します。

2. 解き方の手順

各命題について、仮定が真であるときに結論が常に真であるかどうかを考えます。反例が見つかれば、その命題は偽です。

1. $1<x<2 \implies 1<x<3$

$1<x<2$ を満たす任意の $x$ について、$1<x<3$ は常に成り立ちます。なぜなら、$1<x<2$ であれば、$x$ は 1 より大きく 2 より小さいので、当然 3 より小さいからです。したがって、この命題は真です。

2. $x<1 \implies 0<x<1$

$x<1$ であっても、$0<x<1$ であるとは限りません。例えば、$x = -1$ のとき、$x < 1$ は真ですが、$0 < x < 1$ は偽です。したがって、この命題は偽です。

3. $x>3 \implies |x+1|>2$

$x > 3$ のとき、$x+1 > 4$ なので、$|x+1| = x+1 > 4 > 2$ となります。したがって、この命題は真です。

4. $|x|\le 2 \implies |x-1|<3$

$|x| \le 2$ は $-2 \le x \le 2$ を意味します。このとき、$x-1$ は $-3 \le x-1 \le 1$ を満たします。したがって、$|x-1| \le 3$ となります。 $|x-1|<3$ であるかどうかを検討します。 $x = -2$ の場合、$|x-1| = |-2-1| = |-3| = 3$ となり、$|x-1|<3$ は成り立ちません。よって、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

1. 真

2. 偽

3. 真

4. 偽

**問題5の解答**

1. 問題の内容

偽である命題に対して、反例を一つ挙げます。

2. 解き方の手順

各命題が偽となるような $x, y, n$ の値を考えます。

1. $x^2=3 \implies x=\sqrt{3}$

$x^2=3$ を満たす $x$ は $\sqrt{3}$ と $-\sqrt{3}$ です。したがって、$x = -\sqrt{3}$ のとき、仮定は真ですが、結論は偽となります。

反例：$x = -\sqrt{3}$

2. $|x|>|y| \implies x>y$

$|x| > |y|$ であっても、$x > y$ であるとは限りません。例えば、$x = -2$, $y = 1$ のとき、$|x| = 2$, $|y| = 1$ なので、$|x| > |y|$ は真ですが、$x > y$ は $-2 > 1$ で偽です。

反例：$x = -2$, $y = 1$

3. $n$ は奇数 $\implies 10n+1$ は素数

$n$ が奇数であっても、$10n+1$ が素数であるとは限りません。例えば、$n = 9$ のとき、$n$ は奇数ですが、$10n+1 = 10(9)+1 = 91 = 7 \times 13$ となり素数ではありません。

反例：$n = 9$

3. 最終的な答え

1. $x = -\sqrt{3}$

2. $x = -2$, $y = 1$

3. $n = 9$