$x$ は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。 (1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$ (2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$ (3) $x > 3 \implies |x + 1| > 2$ (4) $|x| \le 2 \implies |x - 1| < 3$

1. 問題の内容

$x$ は実数とする。次の命題の真偽を調べよ。

(1) $1 < x < 2 \implies 1 < x < 3$

(2) $x < 1 \implies 0 < x < 1$

(3) $x > 3 \implies |x + 1| > 2$

(4) $|x| \le 2 \implies |x - 1| < 3$

2. 解き方の手順

各命題について、真または偽を判定し、理由を述べる。

(1) $1 < x < 2$ を満たす $x$ は $1 < x < 3$ を満たすため、この命題は真である。

(2) $x < 1$ を満たす $x$ でも、例えば $x = -1$ の場合、$0 < x < 1$ は満たされない。したがって、この命題は偽である。

(3) $x > 3$ のとき、$x + 1 > 4$ なので、$|x + 1| > 4 > 2$。よって、$|x + 1| > 2$。したがって、この命題は真である。

(4) $|x| \le 2$ は $-2 \le x \le 2$ を意味する。$|x - 1| < 3$ は $-3 < x - 1 < 3$ を意味し、これは $-2 < x < 4$ と同値である。

$-2 \le x \le 2$ を満たす全ての $x$ は $-2 < x < 4$ を満たす。したがって、この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真

(4) 真