$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの方程式を解きます。 (1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta = 0$ (3) $\sqrt{3} \tan \theta = -1$

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの方程式を解きます。

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta = 0$

(3) $\sqrt{3} \tan \theta = -1$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ の場合：

$\sin \theta$ が負の値なので、$\theta$ は第3象限または第4象限にあります。

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であることを利用すると、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ が解となります。

(2) $\cos \theta = 0$ の場合：

$\cos \theta = 0$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のときです。

(3) $\sqrt{3} \tan \theta = -1$ の場合：

$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$\tan \theta$ が負の値なので、$\theta$ は第2象限または第4象限にあります。

$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることを利用すると、

$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ と $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ が解となります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

(3) $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$