10個のデータの平均値と分散が与えられている。そのうち2つのデータが変数 $x$ と $y$ で表されており、残りのデータは具体的な数値で与えられている。平均値と分散に関する方程式を立て、$x$ と $y$ の値を求め、さらに箱ひげ図を描くための情報を求める。

1. 問題の内容

10個のデータの平均値と分散が与えられている。そのうち2つのデータが変数 $x$ と $y$ で表されており、残りのデータは具体的な数値で与えられている。平均値と分散に関する方程式を立て、$x$ と $y$ の値を求め、さらに箱ひげ図を描くための情報を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の式から $x$ と $y$ の関係式を導く。

与えられたデータの平均値が4であるから、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{10}(x + y + 0 + 1 + 3 + 3 + 5 + 6 + 6 + 10) = 4$

これを整理すると

$x + y + 34 = 40$

$x + y = 6$ ...(1)

(2) 分散の式から $x$ と $y$ の関係式を導く。

与えられたデータの分散が7.6であるから、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{10}\left\{(x-4)^2 + (y-4)^2 + (-4)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 6^2\right\} = 7.6$

これを整理すると

$(x-4)^2 + (y-4)^2 + 16 + 9 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 36 = 76$

$(x-4)^2 + (y-4)^2 + 72 = 76$

$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 4$ ...(2)

(3) (1)式と(2)式から $x$ と $y$ の値を求める。

(1)式より $y = 6 - x$。これを(2)式に代入すると

$(x-4)^2 + (6-x-4)^2 = 4$

$(x-4)^2 + (2-x)^2 = 4$

$x^2 - 8x + 16 + 4 - 4x + x^2 = 4$

$2x^2 - 12x + 20 = 4$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

$(x-2)(x-4) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = 4$。

$x < y$ であることから、$x = 2$ のとき $y = 6 - 2 = 4$。$x = 4$ のとき $y = 6 - 4 = 2$。

$x < y$ より、$x = 2, y = 4$。

(4) 箱ひげ図の情報を求める。

データは $0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 10$。

データの大きさは10なので、中央値は5番目と6番目の平均 $\frac{3+4}{2}=3.5$。

第1四分位数はデータの小さい方から25%の位置なので、$\frac{1+2}{2}=1.5$

第3四分位数はデータの大きい方から25%の位置なので6。

(2) ヒストグラムより8点以上10点未満が1人いるから1。

3. 最終的な答え

$x = 2, y = 4$

第一四分位数 $1.5$

中央値 $3.5$

第三四分位数 $6$