1個のサイコロを連続して振り、偶数の目が4回出たら試行を終了する。 (1) 5回目に3度目の偶数が出る確率を求める。 (2) 6回以内で試行が終了する確率を求める。 (3) 6回で終了し、6回のうちちょうど1回が1の目である確率を求める。

1. 問題の内容

1個のサイコロを連続して振り、偶数の目が4回出たら試行を終了する。

(1) 5回目に3度目の偶数が出る確率を求める。

(2) 6回以内で試行が終了する確率を求める。

(3) 6回で終了し、6回のうちちょうど1回が1の目である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 5回目に3度目の偶数が出る確率

4回中2回偶数が出て、5回目に偶数が出る確率を求める。

4回中2回偶数が出る確率は、二項分布で計算できる。

$${}_4 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$

5回目に偶数が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、求める確率は

$$\frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$$

(2) 6回以内で試行が終了する確率

4回、5回、6回で終了する確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

4回で終了する確率は、4回連続で偶数が出る確率である。

$$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

5回で終了する確率は、4回中3回偶数が出て、5回目に偶数が出る確率である。

$${}_4 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$$

6回で終了する確率は、5回中3回偶数が出て、6回目に偶数が出る確率である。

$${}_5 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{1}{2} = 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$$

したがって、求める確率は

$$\frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{5}{32} = \frac{2}{32} + \frac{4}{32} + \frac{5}{32} = \frac{11}{32}$$

(3) 6回で終了し、6回のうちちょうど1回が1の目である確率

6回で終了するためには、5回までに偶数が3回出て、6回目に偶数が出る必要がある。

また、6回のうちちょうど1回が1の目であるということである。

つまり、残り5回のうち、偶数3回、1が1回、奇数(1以外)が1回出る必要がある。

5回中1が1回、奇数2回、偶数2回の出る順番は、

$${}_5 C_1 \times {}_4 C_2 = 5 \times 6 = 30$$

通り

5回目までの確率は、$\frac{30}{6^5}$であり、6回目の偶数は$\frac{3}{6}$だから、

$$\frac{30}{6^5} \times \frac{3}{6} = \frac{30}{7776} \times 3 = \frac{90}{7776} = \frac{5}{432}$$

5回中3回偶数、1が1回、その他奇数1回の出る順番は

$${}_5C_3 \times {}_2C_1 = 10 \times 2 = 20$$

$$\frac{20}{6^5} = \frac{20}{7776}$$

6回目に偶数が出る確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$なので、確率は

$$\frac{20}{7776} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{7776} = \frac{5}{3888}$$

6回で終了する確率を計算すると、6回目に4回目の偶数が出れば良いので、それまでに偶数は3回である。

その場合、1が1回、奇数（1以外）が1回含まれる。

５回までに偶数が３回、1が１回、その他奇数が１回である場合の数：

$$\frac{5!}{3!1!1!} \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{6})^1 \times (\frac{2}{6})^1 = \frac{5!}{3!1!1!} \times \frac{8}{6^5} = 20 \times \frac{2}{6^4} = 20 \times \frac{1}{648} = \frac{5}{162}$$

この時、６回目に偶数が出れば良いので、確率は：

$$\frac{5}{162} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{324}$$

3. 最終的な答え

(1) ア/イウ = 3/16

(2) エオ/カキ = 11/32

(3) ク/ケコ = 5/324