都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛(Pb)含有量のデータを用いて、母平均の95%信頼区間を求める問題です。データの母集団の分散は未知です。与えられたデータは、4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2 です。

1. 問題の内容

都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛(Pb)含有量のデータを用いて、母平均の95%信頼区間を求める問題です。データの母集団の分散は未知です。与えられたデータは、4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2 です。

2. 解き方の手順

母集団の分散が未知であるため、t分布を用いて信頼区間を推定します。

ステップ1: データの平均 ($\bar{x}$)を計算します。

$\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} = 4.7$

ステップ2: データの不偏分散 ($s^2$)を計算します。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

まず、各データ点と平均の差の二乗を計算します。

(4.4-4.7)^2 = 0.09

(4.7-4.7)^2 = 0.00

(4.5-4.7)^2 = 0.04

(4.4-4.7)^2 = 0.09

(4.7-4.7)^2 = 0.00

(3.7-4.7)^2 = 1.00

(5.9-4.7)^2 = 1.44

(5.8-4.7)^2 = 1.21

(4.2-4.7)^2 = 0.25

これらの合計は0.09 + 0.00 + 0.04 + 0.09 + 0.00 + 1.00 + 1.44 + 1.21 + 0.25 = 4.12

したがって、$s^2 = \frac{4.12}{9-1} = \frac{4.12}{8} = 0.515$

ステップ3: 標準偏差 ($s$)を計算します。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.515} \approx 0.7176$

ステップ4: t分布の値を求めます。

自由度 $df = n - 1 = 9 - 1 = 8$

信頼度 95%の場合、$\alpha = 0.05$ なので、$t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 8}$ を求めます。

t分布表から、$t_{0.025, 8} \approx 2.306$

ステップ5: 信頼区間の幅を計算します。

$E = t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.306 \times \frac{0.7176}{\sqrt{9}} = 2.306 \times \frac{0.7176}{3} \approx 2.306 \times 0.2392 \approx 0.5516$

ステップ6: 信頼区間を計算します。

信頼区間は ($\bar{x} - E, \bar{x} + E$) で与えられます。

$(4.7 - 0.5516, 4.7 + 0.5516) = (4.1484, 5.2516)$

3. 最終的な答え

求める95%信頼区間は (4.15, 5.25) です。

4. 15 < μ < 5.25