ある都市ごみ焼却施設において、集じん灰を30分ごとに採取し、原子吸光光度計で鉛(Pb)の含有量を分析した。与えられたデータを用いて、母平均の99%信頼区間を求める。母集団は分散 $\sigma^2 = 0.750^2$ が既知の正規分布に従うとする。データは、4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2である。

1. 問題の内容

ある都市ごみ焼却施設において、集じん灰を30分ごとに採取し、原子吸光光度計で鉛(Pb)の含有量を分析した。与えられたデータを用いて、母平均の99%信頼区間を求める。母集団は分散 $\sigma^2 = 0.750^2$ が既知の正規分布に従うとする。データは、4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2である。

2. 解き方の手順

(1) データの平均値を計算する。

(2) 標準誤差を計算する。

(3) 信頼区間の幅を計算する。

(4) 信頼区間を計算する。

(1) 平均値 $\bar{x}$ の計算

データの総和は、4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2 = 42.3

データ数は $n = 9$

平均値は、$\bar{x} = \frac{42.3}{9} = 4.7$

(2) 標準誤差の計算

母分散 $\sigma^2 = 0.750^2$ なので、標準偏差 $\sigma = 0.750$

標準誤差は、$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.750}{\sqrt{9}} = \frac{0.750}{3} = 0.25$

(3) 信頼区間の幅の計算

信頼水準99%に対応するz値は、$z_{\alpha/2} = 2.576$

信頼区間の幅は、$z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.576 \times 0.25 = 0.644$

(4) 信頼区間の計算

信頼区間の下限は、$\bar{x} - z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 - 0.644 = 4.056$

信頼区間の上限は、$\bar{x} + z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 + 0.644 = 5.344$

3. 最終的な答え

$4.056 < \mu < 5.344$