ある都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛(Pb)含有量の母平均の99%信頼区間を求める問題です。 データは 4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2 です。母集団は分散 $\sigma^2 = 0.750^2$ が既知の正規分布に従うとします。

1. 問題の内容

ある都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛(Pb)含有量の母平均の99%信頼区間を求める問題です。

データは 4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2 です。母集団は分散 $\sigma^2 = 0.750^2$ が既知の正規分布に従うとします。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

(2) 標準誤差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を計算します。ここで、$n$ は標本サイズ（データの個数）です。$\sigma$ は母標準偏差で、$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = 0.750$ となります。

(3) 信頼係数 $z_{\alpha/2}$ を求めます。99%信頼区間なので、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ であり、$\alpha/2 = 0.005$ です。正規分布表または計算ツールを用いて、$z_{0.005}$ を求めます。$z_{0.005} \approx 2.576$ となります。

(4) 信頼区間を計算します。信頼区間は、$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で与えられます。

具体的な計算:

(1) 標本平均 $\bar{x}$ の計算:

$\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} = 4.7$

(2) 標準誤差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の計算:

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.750}{\sqrt{9}} = \frac{0.750}{3} = 0.25$

(3) 信頼係数 $z_{\alpha/2}$ は、$z_{0.005} \approx 2.576$

(4) 信頼区間の計算:

下限: $\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 - 2.576 \times 0.25 = 4.7 - 0.644 = 4.056$

上限: $\bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 + 2.576 \times 0.25 = 4.7 + 0.644 = 5.344$

3. 最終的な答え

$4.056 < \mu < 5.344$