都市ごみ焼却施設で採取された集じん灰の鉛(Pb)含有量のデータから、母平均$\mu$の95%信頼区間を求める問題です。母集団の分散は未知です。データは以下の通りです。 4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2

1. 問題の内容

都市ごみ焼却施設で採取された集じん灰の鉛(Pb)含有量のデータから、母平均$\mu$の95%信頼区間を求める問題です。母集団の分散は未知です。データは以下の通りです。

4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2

2. 解き方の手順

母集団の分散が未知の場合、t分布を用います。

まず、与えられたデータの標本平均$\bar{x}$と標本標準偏差$s$を計算します。

データの個数$n$は9です。

$\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} \approx 4.7$

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

$s^2 = \frac{(4.4-4.7)^2 + (4.7-4.7)^2 + (4.5-4.7)^2 + (4.4-4.7)^2 + (4.7-4.7)^2 + (3.7-4.7)^2 + (5.9-4.7)^2 + (5.8-4.7)^2 + (4.2-4.7)^2}{9-1}$

$s^2 = \frac{0.09 + 0 + 0.04 + 0.09 + 0 + 1 + 1.44 + 1.21 + 0.25}{8} = \frac{4.12}{8} = 0.515$

$s = \sqrt{0.515} \approx 0.7176$

次に、自由度$n-1 = 9-1 = 8$のt分布における95%信頼区間のt値を求めます。t値は$t_{0.025, 8} \approx 2.306$です（t分布表から）。

信頼区間は、以下の式で計算されます。

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

95%信頼区間の下限は、

$4.7 - 2.306 \cdot \frac{0.7176}{\sqrt{9}} \approx 4.7 - 2.306 \cdot \frac{0.7176}{3} \approx 4.7 - 0.5515 \approx 4.1485$

95%信頼区間の上限は、

$4.7 + 2.306 \cdot \frac{0.7176}{\sqrt{9}} \approx 4.7 + 2.306 \cdot \frac{0.7176}{3} \approx 4.7 + 0.5515 \approx 5.2515$

3. 最終的な答え

4.15 < $\mu$ < 5.25