焼却施設で採取された集じん灰の鉛含有量について、与えられたデータから母平均の99%信頼区間を求める問題です。母集団の分散 $\sigma^2$ は既知（$0.750^2$）であり、母集団は正規分布に従うと仮定します。データは以下の通りです: 4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2

1. 問題の内容

焼却施設で採取された集じん灰の鉛含有量について、与えられたデータから母平均の99%信頼区間を求める問題です。母集団の分散 $\sigma^2$ は既知（$0.750^2$）であり、母集団は正規分布に従うと仮定します。データは以下の通りです: 4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

(2) 標準誤差 $\sigma / \sqrt{n}$ を計算します。ここで $\sigma$ は母標準偏差、$n$ はサンプルサイズです。

(3) 信頼係数 $z_{\alpha/2}$ を求めます。99%信頼区間の場合、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$ なので、$\alpha/2 = 0.005$ となり、$z_{0.005}$ を求めます。これは、標準正規分布表から、$P(Z > z_{0.005}) = 0.005$ となる $z_{0.005}$ の値を求めることに相当します。 一般的に、$z_{0.005} \approx 2.576$ です。

(4) 信頼区間の上限と下限を計算します。

下限: $\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

上限: $\bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

詳細な計算:

(1) 標本平均 $\bar{x}$ の計算:

$\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} \approx 4.7$

(2) 標準誤差の計算:

$\sigma = 0.750$

$n = 9$

標準誤差 $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.750}{\sqrt{9}} = \frac{0.750}{3} = 0.25$

(3) 信頼係数:

$z_{0.005} \approx 2.576$ (標準正規分布表より)

(4) 信頼区間の計算:

下限 $= \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 - 2.576 \cdot 0.25 \approx 4.7 - 0.644 = 4.056$

上限 $= \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.7 + 2.576 \cdot 0.25 \approx 4.7 + 0.644 = 5.344$

3. 最終的な答え

$4.056 < \mu < 5.344$