赤玉8個と白玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、赤玉が1個だけ出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉8個と白玉5個が入った袋から3個の玉を同時に取り出すとき、赤玉が1個だけ出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体の場合の数を求める。13個の玉から3個を取り出す組み合わせなので、${}_{13}C_3$ となる。

次に、赤玉が1個、白玉が2個となる場合の数を求める。赤玉8個から1個を選ぶ組み合わせは ${}_8C_1$通りあり、白玉5個から2個を選ぶ組み合わせは ${}_5C_2$通りある。したがって、赤玉1個と白玉2個を選ぶ組み合わせは ${}_8C_1 \times {}_5C_2$ となる。

求める確率は、赤玉1個と白玉2個を選ぶ組み合わせ数を、全体の場合の数で割ったものになる。

計算を行う。

${}_{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$

${}_8C_1 = 8$

${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${}_8C_1 \times {}_5C_2 = 8 \times 10 = 80$

したがって、求める確率は

$\frac{{}_8C_1 \times {}_5C_2}{{}_{13}C_3} = \frac{80}{286} = \frac{40}{143}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{143}$