都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛（Pb）含有量のデータ（4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2）が与えられています。母集団の分散が未知であるという条件のもとで、母平均μの95%信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

都市ごみ焼却施設で採取した集じん灰の鉛（Pb）含有量のデータ（4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2）が与えられています。母集団の分散が未知であるという条件のもとで、母平均μの95%信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから標本平均 $\bar{x}$ と標本標準偏差 $s$ を計算します。

次に、自由度 $n-1$ のt分布を用いて、95%信頼区間を求めます。ここで、$n$ は標本サイズです。

ステップ1: 標本平均 $\bar{x}$ の計算

$\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} = 4.7$

ステップ2: 標本標準偏差 $s$ の計算

まず、各データ点と標本平均との差の二乗を計算します。

$(4.4-4.7)^2 = 0.09$

$(4.7-4.7)^2 = 0.0$

$(4.5-4.7)^2 = 0.04$

$(4.4-4.7)^2 = 0.09$

$(4.7-4.7)^2 = 0.0$

$(3.7-4.7)^2 = 1.0$

$(5.9-4.7)^2 = 1.44$

$(5.8-4.7)^2 = 1.21$

$(4.2-4.7)^2 = 0.25$

次に、これらの二乗の和を求めます。

$0.09 + 0.0 + 0.04 + 0.09 + 0.0 + 1.0 + 1.44 + 1.21 + 0.25 = 4.12$

標本分散 $s^2$ を計算します。

$s^2 = \frac{4.12}{9-1} = \frac{4.12}{8} = 0.515$

標本標準偏差 $s$ を計算します。

$s = \sqrt{0.515} \approx 0.7176$

ステップ3: t分布の値を求める

自由度 $n-1 = 9-1 = 8$ のt分布において、95%信頼区間に対応するt値を求めます。片側確率が0.025となるt値をtテーブルから探します。t値は $t_{0.025, 8} = 2.306$ です。

ステップ4: 信頼区間を計算する

信頼区間の式は以下の通りです。

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

信頼区間の下限：

$4.7 - 2.306 \cdot \frac{0.7176}{\sqrt{9}} = 4.7 - 2.306 \cdot \frac{0.7176}{3} = 4.7 - 2.306 \cdot 0.2392 \approx 4.7 - 0.5516 \approx 4.1484$

信頼区間の上限：

$4.7 + 2.306 \cdot \frac{0.7176}{\sqrt{9}} = 4.7 + 2.306 \cdot \frac{0.7176}{3} = 4.7 + 2.306 \cdot 0.2392 \approx 4.7 + 0.5516 \approx 5.2516$

3. 最終的な答え

95%信頼区間は $4.1484 < \mu < 5.2516$ です。