ある都市ごみ焼却施設で採取された集じん灰の鉛（Pb）含有量に関するデータ（4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2）が与えられています。母集団の分散が未知であるという条件の下で、母平均の95%信頼区間を求める問題です。

1. 問題の内容

ある都市ごみ焼却施設で採取された集じん灰の鉛（Pb）含有量に関するデータ（4.4, 4.7, 4.5, 4.4, 4.7, 3.7, 5.9, 5.8, 4.2）が与えられています。母集団の分散が未知であるという条件の下で、母平均の95%信頼区間を求める問題です。

2. 解き方の手順

信頼区間を求めるためには、以下の手順で計算を行います。

(1) 標本平均 ($\bar{x}$) を計算します。

(2) 標本標準偏差 ($s$) を計算します。

(3) 自由度 ($df = n-1$) を計算します（$n$ はサンプルサイズ）。

(4) t分布の値を求めます。95%信頼区間なので、$\alpha = 0.05$ となり、自由度 $df$ における $t_{\alpha/2, df}$ の値を求めます。

(5) 信頼区間の幅 ($E$) を計算します。 $E = t_{\alpha/2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

(6) 信頼区間を計算します。 信頼区間は $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$ で与えられます。

まず、与えられたデータから標本平均と標本標準偏差を計算します。

標本平均 $\bar{x} = \frac{4.4 + 4.7 + 4.5 + 4.4 + 4.7 + 3.7 + 5.9 + 5.8 + 4.2}{9} = \frac{42.3}{9} = 4.7$

次に、標本標準偏差 $s$ を計算します。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

$s^2 = \frac{(4.4-4.7)^2 + (4.7-4.7)^2 + (4.5-4.7)^2 + (4.4-4.7)^2 + (4.7-4.7)^2 + (3.7-4.7)^2 + (5.9-4.7)^2 + (5.8-4.7)^2 + (4.2-4.7)^2}{9-1}$

$s^2 = \frac{(-0.3)^2 + (0)^2 + (-0.2)^2 + (-0.3)^2 + (0)^2 + (-1)^2 + (1.2)^2 + (1.1)^2 + (-0.5)^2}{8}$

$s^2 = \frac{0.09 + 0 + 0.04 + 0.09 + 0 + 1 + 1.44 + 1.21 + 0.25}{8} = \frac{4.12}{8} = 0.515$

$s = \sqrt{0.515} \approx 0.7176$

自由度 $df = n - 1 = 9 - 1 = 8$

95%信頼区間なので、$\alpha = 0.05$。自由度8のt分布における $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 8}$ の値をt分布表から求めると、おおよそ2.306です。

信頼区間の幅 $E = t_{\alpha/2, df} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.306 \cdot \frac{0.7176}{\sqrt{9}} = 2.306 \cdot \frac{0.7176}{3} \approx 2.306 \cdot 0.2392 \approx 0.5516$

信頼区間は $(\bar{x} - E, \bar{x} + E) = (4.7 - 0.5516, 4.7 + 0.5516) = (4.1484, 5.2516)$

3. 最終的な答え

$4.15 < \mu < 5.25$