8人の生徒の中からリレーの走者4人を選ぶ。 (1) 第1走者から第4走者を決める方法は何通りあるか。 (2) 特定の生徒を第4走者とするとき、第1走者から第4走者を決める方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

8人の生徒の中からリレーの走者4人を選ぶ。

(1) 第1走者から第4走者を決める方法は何通りあるか。

(2) 特定の生徒を第4走者とするとき、第1走者から第4走者を決める方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 8人の中から4人を選んで順番に並べるので、順列の問題である。

順列の公式は $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ である。

この問題では、$n=8$、$r=4$ なので、

$8P4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$

(2) 第4走者が特定されているので、残りの3人の走者を7人の中から選んで順番に並べる。

順列の公式を利用する。$n=7$、$r=3$ なので、

$7P3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 210通り