(1) 1枚の硬貨を10回投げたとき、表が8回出る出方は何通りあるか。 (2) 円周上に異なる8個の点があるとき、そのうち3個を選び、それらを頂点とする三角形は何通り作れるか。 (3) 高校生7人、中学生5人の中から、高校生3人、中学生2人を選ぶ選び方は何通りあるか。 (4) 図のような道があるとき、A地点からC地点を通ってB地点まで、遠回りしないで行く道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 1枚の硬貨を10回投げたとき、表が8回出る出方は何通りあるか。

(2) 円周上に異なる8個の点があるとき、そのうち3個を選び、それらを頂点とする三角形は何通り作れるか。

(3) 高校生7人、中学生5人の中から、高校生3人、中学生2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

(4) 図のような道があるとき、A地点からC地点を通ってB地点まで、遠回りしないで行く道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 10回中8回表が出る組み合わせを考えます。これは二項係数で計算できます。

$_{10}C_8 = \frac{10!}{8!(10-8)!}$

(2) 8個の点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これも二項係数で計算できます。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!}$

(3) 高校生7人から3人を選ぶ組み合わせと、中学生5人から2人を選ぶ組み合わせをそれぞれ計算し、掛け合わせます。

高校生の選び方: $_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!}$

中学生の選び方: $_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!}$

全体の選び方: $_7C_3 \times {}_5C_2$

(4) A地点からC地点まで行く最短経路の数と、C地点からB地点まで行く最短経路の数をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからCへの経路数: 右に2回、上に1回なので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

CからBへの経路数: 右に1回、上に1回なので、$\frac{2!}{1!1!} = 2$ 通り

全体の経路数: $3 \times 2$

3. 最終的な答え

(1) 45通り

$_{10}C_8 = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

(2) 56通り

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(3) 350通り

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$35 \times 10 = 350$

(4) 6通り

$3 \times 2 = 6$