与えられた式を計算します。式は以下の通りです。 $10 \cdot 10 \cdot \log_2{10} - (\log_2{5} + \log_2{10})$

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。式は以下の通りです。

$10 \cdot 10 \cdot \log_2{10} - (\log_2{5} + \log_2{10})$

2. 解き方の手順

まず、式の最初の部分を計算します。

$10 \cdot 10 \cdot \log_2{10} = 100 \log_2{10}$

次に、括弧の中を計算します。対数の和は積の対数になるので、

$\log_2{5} + \log_2{10} = \log_2{(5 \cdot 10)} = \log_2{50}$

したがって、式は

$100 \log_2{10} - \log_2{50}$

となります。

ここで、

$\log_2{10} = \log_2{(2 \cdot 5)} = \log_2{2} + \log_2{5} = 1 + \log_2{5}$

なので、

$100 \log_2{10} = 100 (1 + \log_2{5}) = 100 + 100 \log_2{5}$

また、

$\log_2{50} = \log_2{(2 \cdot 25)} = \log_2{2} + \log_2{25} = 1 + \log_2{5^2} = 1 + 2 \log_2{5}$

したがって、

$100 \log_2{10} - \log_2{50} = (100 + 100 \log_2{5}) - (1 + 2 \log_2{5}) = 99 + 98 \log_2{5}$

$\log_2{5} = \frac{\log_{10}{5}}{\log_{10}{2}} \approx \frac{0.69897}{0.30103} \approx 2.3219$

$99 + 98 \log_2{5} \approx 99 + 98 \cdot 2.3219 = 99 + 227.5462 = 326.5462$

3. 最終的な答え

$99 + 98\log_2{5}$

約326.55