自然数 $n$ の各桁の数字の和を $S(n)$ で表す。 (1) $n + S(n) = 100$ を満たす自然数 $n$ を求める。 (2) $n + S(n) = 1988$ を満たす自然数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ の各桁の数字の和を $S(n)$ で表す。

(1) $n + S(n) = 100$ を満たす自然数 $n$ を求める。

(2) $n + S(n) = 1988$ を満たす自然数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $n + S(n) = 100$ を満たす自然数 $n$ を求める。

$n$ は二桁の自然数である。$n = 10a + b$ とおく ($a, b$ は整数, $1 \leq a \leq 9, 0 \leq b \leq 9$)。

$S(n) = a + b$ であるから、

$10a + b + a + b = 100$

$11a + 2b = 100$

$2b = 100 - 11a$

$b = 50 - \frac{11}{2}a$

$b$ は整数なので，$a$ は偶数である。

$a=2$ のとき $b = 50 - 11 = 39 > 9$ 不適

$a=4$ のとき $b = 50 - 22 = 28 > 9$ 不適

$a=6$ のとき $b = 50 - 33 = 17 > 9$ 不適

$a=8$ のとき $b = 50 - 44 = 6$

$n = 86$ を検証すると、$86 + 8 + 6 = 100$

よって、$n = 86$

(2) $n + S(n) = 1988$ を満たす自然数 $n$ を求める。

$n$ は三桁か四桁の自然数である。

$S(n)$ の最大値は、仮に $n = 1988$ とすると $S(n) \le S(1999) = 1+9+9+9 = 28$ である。

したがって、$1988 - 28 \le n \le 1988$ となり、$1960 \le n \le 1988$

$n = 1900 + 10a + b$ とおく ($0 \leq a, b \leq 9$ は整数)

$1900 + 10a + b + 1 + 9 + a + b = 1988$

$1900 + 11a + 2b + 10 = 1988$

$11a + 2b = 78$

$2b = 78 - 11a$

$b = 39 - \frac{11}{2}a$

$b$ は整数なので、$a$ は偶数である。

$a=0$ のとき $b = 39 > 9$ 不適

$a=2$ のとき $b = 39 - 11 = 28 > 9$ 不適

$a=4$ のとき $b = 39 - 22 = 17 > 9$ 不適

$a=6$ のとき $b = 39 - 33 = 6$

$n = 1966$ を検証すると、$1966 + 1 + 9 + 6 + 6 = 1966 + 22 = 1988$

よって、$n = 1966$

3. 最終的な答え

(1) 86

(2) 1966