$a, b$ が有理数であるとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを、$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて証明する。

1. 問題の内容

$a, b$ が有理数であるとき、$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを、$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

$a \neq 0$ または $b \neq 0$ と仮定する。

(1) $b \neq 0$ のとき：

$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ より、

$\sqrt{3} = -\frac{\sqrt{2}a}{b}$

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{2a^2}{b^2}$

$3b^2 = 2a^2$

$a^2 \neq 0$ なので、$b^2 \neq 0$

$\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}a}{b} \cdot \sqrt{2} = -\frac{2a}{b}$

$a, b$ は有理数なので、$-\frac{2a}{b}$ も有理数である。

これは $\sqrt{6}$ が無理数であることに矛盾する。

(2) $a \neq 0$ のとき：

$\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 0$ より、

$\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{3}b}{a}$

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{3b^2}{a^2}$

$2a^2 = 3b^2$

$b^2 \neq 0$なので、$a^2 \neq 0$

$\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}b}{a} \cdot \sqrt{3} = -\frac{3b}{a}$

$a, b$ は有理数なので、$-\frac{3b}{a}$ も有理数である。

これは $\sqrt{6}$ が無理数であることに矛盾する。

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ である。

3. 最終的な答え

$a = b = 0$