$n$ は自然数とする。命題「$n$ が素数ならば、$n$ は奇数である」が偽であることを示せ。 (1) 偽であることを示すためには何をする必要があるか。 (2) 上の命題が偽であることを示す反例のうち、最も小さい $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ は自然数とする。命題「$n$ が素数ならば、$n$ は奇数である」が偽であることを示せ。

(1) 偽であることを示すためには何をする必要があるか。

(2) 上の命題が偽であることを示す反例のうち、最も小さい $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 命題「$P$ ならば $Q$」が偽であることを示すためには、$P$ は真だが $Q$ は偽である例を挙げればよい。これを**反例**と呼ぶ。

(2) 命題「$n$ が素数ならば、$n$ は奇数である」が偽であることを示すには、$n$ が素数であって、かつ $n$ が奇数でない（偶数である）例を見つければよい。

素数とは、1 と自分自身以外に約数を持たない自然数である。小さい方から素数を列挙すると、2, 3, 5, 7, 11, 13, ... となる。

このうち、偶数であるのは 2 だけである。したがって、$n = 2$ は命題の反例となる。また、2 は最小の素数なので、これが最も小さい反例である。

3. 最終的な答え

(1) 反例

(2) 2