$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ のとき、$x^4 + 2x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ のとき、$x^4 + 2x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$ の両辺を2乗します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{3})^2$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 3$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$ の両辺を2乗します。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 5^2$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 25$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 23$

求める式を整理します。

$x^4 + 2x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) + 2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 23$ と $x^2 + \frac{1}{x^2} = 5$ を代入します。

$23 + 2(5) + 2 = 23 + 10 + 2 = 35$

3. 最終的な答え

35