与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を計算する問題です。 * 2A - 5B * AB * BA * A'B' * B'A' ここで、A' は行列 A の転置行列を表します。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、以下の行列を計算する問題です。

* 2A - 5B

* AB

* BA

* A'B'

* B'A'

ここで、A' は行列 A の転置行列を表します。

2. 解き方の手順

各行列の計算手順を以下に示します。

* 2A - 5B:

まず、2A と 5B を計算します。

$2A = 2\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 8 & -6 \end{pmatrix}$

$5B = 5\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -20 \\ -10 & 5 \end{pmatrix}$

次に、2A - 5B を計算します。

$2A - 5B = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 8 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & -20 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-10 & -2-(-20) \\ 8-(-10) & -6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 18 \\ 18 & -11 \end{pmatrix}$

* AB:

$AB = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(2) + (-1)(-2) & 3(-4) + (-1)(1) \\ 4(2) + (-3)(-2) & 4(-4) + (-3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+2 & -12-1 \\ 8+6 & -16-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -13 \\ 14 & -19 \end{pmatrix}$

* BA:

$BA = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(3) + (-4)(4) & 2(-1) + (-4)(-3) \\ -2(3) + (1)(4) & -2(-1) + (1)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-16 & -2+12 \\ -6+4 & 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 10 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

* A'B':

まず、A' と B' を計算します。

$A' = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

$B' = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$

次に、A'B' を計算します。

$A'B' = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(2) + 4(-4) & 3(-2) + 4(1) \\ -1(2) + (-3)(-4) & -1(-2) + (-3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-16 & -6+4 \\ -2+12 & 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & -2 \\ 10 & -1 \end{pmatrix}$

* B'A':

$B'A' = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(3) + (-2)(-1) & 2(4) + (-2)(-3) \\ -4(3) + 1(-1) & -4(4) + 1(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+2 & 8+6 \\ -12-1 & -16-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 14 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

* 2A - 5B = $\begin{pmatrix} -4 & 18 \\ 18 & -11 \end{pmatrix}$

* AB = $\begin{pmatrix} 8 & -13 \\ 14 & -19 \end{pmatrix}$

* BA = $\begin{pmatrix} -10 & 10 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

* A'B' = $\begin{pmatrix} -10 & -2 \\ 10 & -1 \end{pmatrix}$

* B'A' = $\begin{pmatrix} 8 & 14 \\ -13 & -19 \end{pmatrix}$