問題7は、曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ に関する以下の問いに答えるものです。 (1) $x$軸方向に-1、$y$軸方向に+3平行移動した曲線の式を求める。 (2) $x$軸に関して対称な曲線の式を求める。 (3) $y$軸に関して対称な曲線の式を求める。 (4) 逆関数を求める。 (5) 傾きが$\tan \theta$の直線に垂直な直線の傾きを$\cos \theta$と$\sin \theta$を使って表す。 (6) $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、原点を通る直線 $y = (\tan \theta)x$ に垂直で点 (1, -3) を通る直線の式を求める。

## 問題の解答

以下に問題7の各小問の解答を示します。

1. 問題の内容

問題7は、曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ に関する以下の問いに答えるものです。

(1) $x$軸方向に-1、$y$軸方向に+3平行移動した曲線の式を求める。

(2) $x$軸に関して対称な曲線の式を求める。

(3) $y$軸に関して対称な曲線の式を求める。

(4) 逆関数を求める。

(5) 傾きが$\tan \theta$の直線に垂直な直線の傾きを$\cos \theta$と$\sin \theta$を使って表す。

(6) $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、原点を通る直線 $y = (\tan \theta)x$ に垂直で点 (1, -3) を通る直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

$x$軸方向に-1移動するには、$x$を$x+1$に置き換えます。$y$軸方向に+3移動するには、$y$を$y-3$に置き換えます。

(2) $x$軸対称

$x$軸に関して対称な曲線を得るには、$y$を$-y$に置き換えます。

(3) $y$軸対称

$y$軸に関して対称な曲線を得るには、$x$を$-x$に置き換えます。

(4) 逆関数

$x$と$y$を入れ替えて、$y$について解きます。

(5) 垂直な直線の傾き

傾きが$m$の直線に垂直な直線の傾きは$-\frac{1}{m}$です。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$を用いると、垂直な直線の傾きは$-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と表せます。

(6) 直線の式

$\theta = \frac{\pi}{3}$のとき、$\tan \theta = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$です。

直線 $y = \sqrt{3}x$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$です。

点(1, -3)を通る傾き$-\frac{1}{\sqrt{3}}$の直線の方程式は、点傾斜形式より

$y - (-3) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$

$y + 3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}} - 3$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3$

3. 最終的な答え

(1) $2(x+1)^2 - 4(x+1) - (y-3) = 0$

$2(x^2 + 2x + 1) - 4x - 4 - y + 3 = 0$

$2x^2 + 4x + 2 - 4x - 4 - y + 3 = 0$

$2x^2 - y + 1 = 0$

$y = 2x^2 + 1$

(2) $2x^2 - 4x - (-y) = 0$

$2x^2 - 4x + y = 0$

$y = -2x^2 + 4x$

(3) $2(-x)^2 - 4(-x) - y = 0$

$2x^2 + 4x - y = 0$

$y = 2x^2 + 4x$

(4) $2y^2 - 4y - x = 0$

$2(y^2 - 2y) = x$

$2(y^2 - 2y + 1) = x + 2$

$2(y - 1)^2 = x + 2$

$(y - 1)^2 = \frac{1}{2}(x + 2)$

$y - 1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}(x + 2)}$

$y = 1 \pm \sqrt{\frac{x + 2}{2}}$

(5) $-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

(6) $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3$