次の4つの二次関数のそれぞれについて、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$) (2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$) (3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$) (4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

1. 問題の内容

次の4つの二次関数のそれぞれについて、与えられた定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ ($-2 \le x \le 2$)

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 3$)

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ ($1 \le x \le 3$)

(4) $y = -2x^2 + 12x$ ($0 \le x \le 6$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x + 3$ について

まず、平方完成します。

$y = (x+1)^2 + 2$

軸は $x = -1$ で、これは $-2 \le x \le 2$ の範囲に含まれます。

$x = -1$ のとき、 $y = 2$ (最小値)

$x = 2$ のとき、 $y = 2^2 + 2(2) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11$ (最大値)

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 + 2(-2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$

よって、最大値は11 ($x=2$のとき)、最小値は2 ($x=-1$のとき)です。

(2) $y = -x^2 + 4x - 3$ について

まず、平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x) - 3 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1$

軸は $x = 2$ で、これは $0 \le x \le 3$ の範囲に含まれます。

$x = 2$ のとき、 $y = 1$ (最大値)

$x = 0$ のとき、 $y = -0^2 + 4(0) - 3 = -3$

$x = 3$ のとき、 $y = -3^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0$

よって、最大値は1 ($x=2$のとき)、最小値は-3 ($x=0$のとき)です。

(3) $y = 3x^2 + 6x - 1$ について

まず、平方完成します。

$y = 3(x^2 + 2x) - 1 = 3(x^2 + 2x + 1) - 3 - 1 = 3(x+1)^2 - 4$

軸は $x = -1$ ですが、$1 \le x \le 3$ の範囲外です。

$x = 1$ のとき、 $y = 3(1)^2 + 6(1) - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$ (最小値)

$x = 3$ のとき、 $y = 3(3)^2 + 6(3) - 1 = 27 + 18 - 1 = 44$ (最大値)

よって、最大値は44 ($x=3$のとき)、最小値は8 ($x=1$のとき)です。

(4) $y = -2x^2 + 12x$ について

まず、平方完成します。

$y = -2(x^2 - 6x) = -2(x^2 - 6x + 9) + 18 = -2(x-3)^2 + 18$

軸は $x = 3$ で、これは $0 \le x \le 6$ の範囲に含まれます。

$x = 3$ のとき、 $y = 18$ (最大値)

$x = 0$ のとき、 $y = -2(0)^2 + 12(0) = 0$ (最小値)

$x = 6$ のとき、 $y = -2(6)^2 + 12(6) = -72 + 72 = 0$ (最小値)

よって、最大値は18 ($x=3$のとき)、最小値は0 ($x=0$または$x=6$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11, 最小値: 2

(2) 最大値: 1, 最小値: -3

(3) 最大値: 44, 最小値: 8

(4) 最大値: 18, 最小値: 0