以下の6つの問題を解きます。 1. 曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $+3$ 平行移動した曲線の式を求めよ。

1. 問題の内容

以下の6つの問題を解きます。

1. 曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $+3$ 平行移動した曲線の式を求めよ。

2. 曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ の $x$ 軸に関して対称な曲線の式を求めよ。

3. 曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ の $y$ 軸に関して対称な曲線の式を求めよ。

4. 曲線 $2x^2 - 4x - y = 0$ の逆関数を求めよ。

5. 傾きが $\tan \theta$ の直線に垂直な直線の傾きを $\cos \theta$ と $\sin \theta$ を使って表せ。ただし、$\theta$ は直線が $x$ 軸となす角度とする。

6. $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、原点を通る直線 $y = (\tan \theta)x$ に垂直で点 $(1, -3)$ を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動

$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $+3$ 平行移動するので、$x$ を $x+1$ に、$y$ を $y-3$ に置き換えます。

$2(x+1)^2 - 4(x+1) - (y-3) = 0$

$2(x^2 + 2x + 1) - 4x - 4 - y + 3 = 0$

$2x^2 + 4x + 2 - 4x - 4 - y + 3 = 0$

$2x^2 - y + 1 = 0$

$y = 2x^2 + 1$

(2) x軸に関して対称

$x$ 軸に関して対称なので、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$2x^2 - 4x - (-y) = 0$

$2x^2 - 4x + y = 0$

$y = -2x^2 + 4x$

(3) y軸に関して対称

$y$ 軸に関して対称なので、$x$ を $-x$ に置き換えます。

$2(-x)^2 - 4(-x) - y = 0$

$2x^2 + 4x - y = 0$

$y = 2x^2 + 4x$

(4) 逆関数

$2x^2 - 4x - y = 0$ を $x$ について解きます。

$2x^2 - 4x = y$

$2(x^2 - 2x) = y$

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) = y$

$2((x-1)^2 - 1) = y$

$2(x-1)^2 - 2 = y$

$2(x-1)^2 = y + 2$

$(x-1)^2 = \frac{y+2}{2}$

$x-1 = \pm \sqrt{\frac{y+2}{2}}$

$x = 1 \pm \sqrt{\frac{y+2}{2}}$

$x$ と $y$ を入れ替えます。

$y = 1 \pm \sqrt{\frac{x+2}{2}}$

(5) 垂直な直線の傾き

傾きが $m = \tan \theta$ の直線に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{m}$ です。

$-\frac{1}{\tan \theta} = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

(6) 直線の方程式

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\tan \theta = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ です。

直線 $y = \sqrt{3}x$ に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

点 $(1, -3)$ を通る直線の式は

$y - (-3) = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$

$y + 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3} - 9}{3}$

3. 最終的な答え

1. $y = 2x^2 + 1$

2. $y = -2x^2 + 4x$

3. $y = 2x^2 + 4x$

4. $y = 1 \pm \sqrt{\frac{x+2}{2}}$

5. $-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

6. $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3} - 9}{3}$