$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \leq 2$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \leq 2$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 真数条件を確認する。

対数関数が定義されるためには、真数は正である必要がある。したがって、$x-1>0$ より、$x>1$。

(2) 不等式を変形する。

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \leq 2$ を指数形式に変換する。底が1より小さいので、不等号の向きが変わることに注意する。

$x-1 \geq (\frac{1}{3})^2$

(3) 不等式を解く。

$x-1 \geq \frac{1}{9}$

$x \geq \frac{1}{9} + 1$

$x \geq \frac{10}{9}$

(4) 真数条件と解を合わせる。

(1)で求めた真数条件 $x>1$ と、(3)で求めた解 $x \geq \frac{10}{9}$ を満たす $x$ の範囲を求める。$\frac{10}{9} > 1$ であるため、解は $x \geq \frac{10}{9}$ となる。

3. 最終的な答え

$x \geq \frac{10}{9}$