与えられた定積分の値を計算します。定積分は次の式で表されます。 $\int_{1}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{3}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{-2}^{1}(-9x^2-8x+5)dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算します。定積分は次の式で表されます。

$\int_{1}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{3}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{-2}^{1}(-9x^2-8x+5)dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分範囲をまとめます。

$\int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx$

今回の問題では、$\int_{1}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{3}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{-2}^{1}(-9x^2-8x+5)dx$

まず、$\int_{3}^{3}(-9x^2-8x+5)dx=0$ であるため、この項は無視できます。

次に、$\int_{1}^{3}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{-2}^{1}(-9x^2-8x+5)dx$ を計算します。

積分範囲をまとめると、

$\int_{-2}^{1}(-9x^2-8x+5)dx + \int_{1}^{3}(-9x^2-8x+5)dx = \int_{-2}^{3}(-9x^2-8x+5)dx$

となります。

次に、被積分関数 $-9x^2-8x+5$ の不定積分を計算します。

$\int (-9x^2-8x+5)dx = -9\int x^2 dx - 8\int x dx + 5\int dx = -9(\frac{x^3}{3}) - 8(\frac{x^2}{2}) + 5x + C = -3x^3 - 4x^2 + 5x + C$

したがって、定積分は

$\int_{-2}^{3}(-9x^2-8x+5)dx = [-3x^3 - 4x^2 + 5x]_{-2}^{3}$

$= (-3(3)^3 - 4(3)^2 + 5(3)) - (-3(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2))$

$= (-3(27) - 4(9) + 15) - (-3(-8) - 4(4) - 10)$

$= (-81 - 36 + 15) - (24 - 16 - 10)$

$= (-102) - (-2)$

$= -102 + 2 = -100$

3. 最終的な答え

-100