奇数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の奇数を含むように群に分ける。 (1) 第$n$群の最初の奇数を求めよ。 (2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求めよ。 (3) 157は第何群の何番目の数か。

1. 問題の内容

奇数の列を、第$n$群が$2^{n-1}$個の奇数を含むように群に分ける。

(1) 第$n$群の最初の奇数を求めよ。

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求めよ。

(3) 157は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の最初の奇数を求める。

第$n$群の最初の項は、奇数列の第$1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2}$番目の項である。ただし、$n \ge 2$とする。

$S_{n-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2}$は、初項1、公比2の等比数列の第$n-1$項までの和である。

したがって、

$S_{n-1} = \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

第$n$群の最初の奇数は、奇数列の第$2^{n-1}-1+1=2^{n-1}$番目の奇数である。

奇数列の第$k$番目の奇数は$2k-1$なので、第$n$群の最初の奇数は$2(2^{n-1}) - 1 = 2^n - 1$である。

$n=1$のとき、$2^1-1 = 1$となり、これは第1群の最初の奇数に等しい。

したがって、第$n$群の最初の奇数は$2^n - 1$である。

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和を求める。

第$n$群の最初の奇数は$2^n - 1$である。第$n$群には$2^{n-1}$個の奇数が含まれる。

したがって、第$n$群の最後の奇数は、奇数列の第$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1 + 2^{n-1} - 1 + 1 = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$番目の奇数である。

つまり、$2(3 \cdot 2^{n-1}) - 1 = 3 \cdot 2^n - 1$である。

第$n$群に含まれる奇数の和は、初項$2^n - 1$、末項$3 \cdot 2^n - 1$、項数$2^{n-1}$の等差数列の和である。

$S_n = \frac{2^{n-1}( (2^n - 1) + (3 \cdot 2^n - 1) )}{2} = \frac{2^{n-1}(4 \cdot 2^n - 2)}{2} = 2^{n-1}(2 \cdot 2^n - 1) = 2^{n-1}(2^{n+1} - 1)$

したがって、第$n$群に含まれる奇数の和は$2^{n-1}(2^{n+1} - 1)$である。

(3) 157は第何群の何番目の数か。

奇数列の第$k$番目の奇数は$2k-1$である。157が奇数列の第何番目か調べる。

$2k-1 = 157$より、$2k = 158$なので、$k = 79$

157は奇数列の79番目の数である。

第$n$群までの奇数の数の合計を$T_n$とすると、$T_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

$T_n < 79 \le T_{n+1}$となる$n$を見つける。

$2^n - 1 < 79 \le 2^{n+1} - 1$

$2^n < 80 \le 2^{n+1}$

$2^6 = 64 < 80 \le 2^7 = 128$

したがって、$n = 6$

157は第7群にある。

第6群までの項数は$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$

157は第7群の$79 - 63 = 16$番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第$n$群の最初の奇数：$2^n - 1$

(2) 第$n$群に含まれる奇数の和：$2^{n-1}(2^{n+1} - 1)$

(3) 157は第7群の16番目の数