座標平面上に点 A(2, -1) と直線 $l: 2x - 6y + 3 = 0$ が与えられています。 (1) 点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線と、垂直な直線の式をそれぞれ求めます。 (2) 点 A と直線 $l$ の距離を求めます。

## 回答

1. 問題の内容

座標平面上に点 A(2, -1) と直線 $l: 2x - 6y + 3 = 0$ が与えられています。

(1) 点 A を通り、直線 $l$ に平行な直線と、垂直な直線の式をそれぞれ求めます。

(2) 点 A と直線 $l$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線、垂直な直線の式

直線 $l: 2x - 6y + 3 = 0$ を変形すると、$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$ となります。

傾きは $\frac{1}{3}$ です。

* 平行な直線

点 A(2, -1) を通り、傾きが $\frac{1}{3}$ の直線の式は、

$y - (-1) = \frac{1}{3}(x - 2)$

$y + 1 = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

$3y = x - 5$

$x - 3y - 5 = 0$

* 垂直な直線

点 A(2, -1) を通り、傾きが $-3$ の直線の式は、

$y - (-1) = -3(x - 2)$

$y + 1 = -3x + 6$

$y = -3x + 5$

$3x + y - 5 = 0$

(2) 点と直線の距離

点 A(2, -1) と直線 $l: 2x - 6y + 3 = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で計算できます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

ここで、A(x1, y1) = (2, -1) 、直線 $l: ax + by + c = 0$ は $2x - 6y + 3 = 0$ なので、$a = 2, b = -6, c = 3$ です。

$d = \frac{|2(2) - 6(-1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}$

$d = \frac{|4 + 6 + 3|}{\sqrt{4 + 36}}$

$d = \frac{|13|}{\sqrt{40}}$

$d = \frac{13}{2\sqrt{10}}$

$d = \frac{13\sqrt{10}}{20}$

3. 最終的な答え

(1)

平行な直線：$x - 3y - 5 = 0$

垂直な直線：$3x + y - 5 = 0$

(2)

距離：$\frac{13\sqrt{10}}{20}$