関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 2$ における最小値が $-9$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、この関数の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 2$ における最小値が $-9$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、この関数の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 4x + c = -2(x^2 - 2x) + c = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + c = -2(x-1)^2 + 2 + c$

よって、

$y = -2(x-1)^2 + 2 + c$

このグラフは上に凸な放物線で、軸は $x = 1$ です。定義域 $-2 \le x \le 2$ は軸を含んでいます。

したがって、頂点 $x=1$ で最大値をとり、端点 $x=-2$ または $x=2$ で最小値をとります。

最小値を考えるために、 $x=-2$ と $x=2$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = -2$ のとき、 $y = -2(-2)^2 + 4(-2) + c = -2(4) - 8 + c = -8 - 8 + c = -16 + c$

$x = 2$ のとき、 $y = -2(2)^2 + 4(2) + c = -2(4) + 8 + c = -8 + 8 + c = c$

最小値が $-9$ であることから、

$-16 + c = -9$ または $c = -9$ のいずれかになります。

$-16 + c = -9$ のとき、$c = 7$

$c = -9$ のとき、$c = -9$

$x=-2$のとき最小値をとるなら、$c=7$です。

このとき、$y = -2(x-1)^2 + 2 + 7 = -2(x-1)^2 + 9$

最大値は $x = 1$ のときで、 $y = -2(1-1)^2 + 9 = 9$

$x=2$のとき最小値をとるなら、$c=-9$です。

このとき、$y = -2(x-1)^2 + 2 - 9 = -2(x-1)^2 - 7$

最大値は $x = 1$ のときで、 $y = -2(1-1)^2 - 7 = -7$

$x=-2$の時が最小値となるので、$y(-2) < y(2)$でなければならない。

$-16+c < c$

$-16 < 0$

これは常に成り立つ。

したがって、最小値は$x=-2$のときの$y$の値である。

$-16+c = -9$

$c = 7$

このとき、関数は、$y=-2x^2+4x+7$

これを平方完成すると、$y=-2(x-1)^2+9$

したがって、最大値は$x=1$のときの$y$の値で、

$y=-2(1-1)^2+9=9$

3. 最終的な答え

$c=7$

最大値: $9$ ($x=1$のとき)