$\sum_{k=1}^{n} 2k(k-3)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 2k(k-3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$2k(k-3) = 2k^2 - 6k$

したがって、与えられた和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 - 6k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} - 3n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1-9)}{3}$

$= \frac{n(n+1)(2n-8)}{3}$

$= \frac{2n(n+1)(n-4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2n(n+1)(n-4)}{3}$