$1 \le x \le 16$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 16$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - \log_2 x^2$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形する。

$\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$ であるから、

$y = (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x$

ここで、$t = \log_2 x$ と置くと、$y = t^2 - 2t$ となる。

$1 \le x \le 16$ より、$\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 16$ なので、$0 \le t \le 4$ となる。

$y = t^2 - 2t = (t - 1)^2 - 1$ と変形できる。

この関数は $t=1$ のときに最小値 $-1$ をとり、$t=4$ のときに最大値 $(4-1)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ をとる。

$t = \log_2 x$ なので、$t=1$ のとき $\log_2 x = 1$ より $x = 2$ であり、$t=4$ のとき $\log_2 x = 4$ より $x = 2^4 = 16$ である。

3. 最終的な答え

最大値：$8$ ($x=16$ のとき)

最小値：$-1$ ($x=2$ のとき)