行列 $A$ が対称行列であり、かつ交代行列であるとき、$A = O$ (零行列) を示す問題です。

1. 問題の内容

行列 $A$ が対称行列であり、かつ交代行列であるとき、$A = O$ (零行列) を示す問題です。

2. 解き方の手順

* 対称行列の定義：行列 $A$ が対称行列であるとは、$A^T = A$ が成り立つことです。つまり、$A$ の $(i, j)$ 成分を $a_{ij}$ とすると、$a_{ij} = a_{ji}$ がすべての $i, j$ に対して成り立つということです。

* 交代行列の定義：行列 $A$ が交代行列であるとは、$A^T = -A$ が成り立つことです。つまり、$a_{ij} = -a_{ji}$ がすべての $i, j$ に対して成り立つということです。

* 証明：行列 $A$ が対称行列かつ交代行列であると仮定します。

すると、対称行列の定義から $a_{ij} = a_{ji}$ が成り立ち、交代行列の定義から $a_{ij} = -a_{ji}$ が成り立ちます。

したがって、$a_{ij} = a_{ji} = -a_{ji}$ が成り立ちます。

この式を変形すると、$a_{ji} = -a_{ji}$ となり、$2a_{ji} = 0$ となります。

よって、$a_{ji} = 0$ となります。

これは、すべての $i, j$ に対して成り立つため、$A$ のすべての成分が $0$ であることを意味します。

したがって、$A = O$ (零行列) が示されました。

3. 最終的な答え

$A = O$