三角形ABCにおいて、点Pは辺AC上の点であり、線分AMは三角形ABCの面積を二等分する。線分PQが三角形ABCの面積を二等分する点Qを、辺BC上に見つける作図の手順を求めよ。ただし、Mは辺BCの中点。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺AC上の点であり、線分AMは三角形ABCの面積を二等分する。線分PQが三角形ABCの面積を二等分する点Qを、辺BC上に見つける作図の手順を求めよ。ただし、Mは辺BCの中点。

2. 解き方の手順

(1) 点Pを通り、線分AMに平行な直線を作図する。

この直線をlとする。

(2) 直線lと線分BCの交点をRとする。

(3) 線分MRの中点をQとする。

線分PQが、三角形ABCの面積を二等分する線となる。

なぜなら、

$\triangle ABM = \triangle ACM = \frac{1}{2} \triangle ABC$

である。

線分PQが$\triangle ABC$の面積を二等分するためには、

$\triangle BPQ = \frac{1}{2} \triangle ABC$

となる必要がある。

四角形APRMは平行四辺形であるから、$\triangle APR = \triangle ARM$。

$\triangle ABM = \triangle ABC / 2$より、$\triangle PBQ$が $\triangle ABC / 2$となるQを求めれば良い。

$\triangle BPM$と四角形APRQの面積は等しい。

$AR \parallel PM$より、$\triangle APR = \triangle AMR$

$R$は辺BC上の点である。

点$Q$は線分$MR$の中点である。

3. 最終的な答え

点Pを通り、AMに平行な線とBCの交点をRとする。

線分MRの中点をQとする。