3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の極大値、極小値とその $x$ の値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 A(-2, f(-2)) における接線 $l$ の方程式を $y = g(x)$ とするとき、$g(x)$ を求める。さらに、$y = f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 A 以外の点の座標を求める。最後に、直線 $l$ と平行な直線で、$y = f(x)$ と接するもので、直線 $l$ 以外の直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の極大値、極小値とその $x$ の値を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 A(-2, f(-2)) における接線 $l$ の方程式を $y = g(x)$ とするとき、$g(x)$ を求める。さらに、$y = f(x)$ と直線 $l$ の共有点のうち、点 A 以外の点の座標を求める。最後に、直線 $l$ と平行な直線で、$y = f(x)$ と接するもので、直線 $l$ 以外の直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ を微分して $f'(x)$ を求め、増減表を作成して極値を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$

$f'(x) = (3x + 5)(x - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -\frac{5}{3}, 1$ のとき。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -5/3 | ... | 1 | ... |

| :--- | :-------- | :------ | :--- | :-- | :-------- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -\frac{5}{3}$ のとき $f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - 5(-\frac{5}{3}) - 4 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 4 = \frac{-125 + 75 + 225 - 108}{27} = \frac{67}{27}$

$x = 1$ のとき $f(1) = 1^3 + 1^2 - 5(1) - 4 = 1 + 1 - 5 - 4 = -7$

(2) 点 A の座標は (-2, f(-2)) = (-2, (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) - 4) = (-2, -8 + 4 + 10 - 4) = (-2, 2)。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5$ より、$f'(-2) = 3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3$。

よって、点 A における接線の方程式は、$y - 2 = 3(x + 2)$。

$y = 3x + 6 + 2 = 3x + 8$。

したがって、$g(x) = 3x + 8$。

$f(x) = x^3 + x^2 - 5x - 4$ と $g(x) = 3x + 8$ の交点を求める。

$x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + 8$

$x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0$

$(x + 2)(x^2 - x - 6) = 0$

$(x + 2)(x + 2)(x - 3) = 0$

$(x + 2)^2 (x - 3) = 0$

$x = -2, 3$

したがって、$x = 3$ のとき、$y = 3(3) + 8 = 9 + 8 = 17$。

点 A 以外の共有点の座標は (3, 17)。

直線 $l$ と平行な直線は、$y = 3x + k$ と表せる。

$x^3 + x^2 - 5x - 4 = 3x + k$

$x^3 + x^2 - 8x - 4 - k = 0$

直線 $l$ と平行な直線が $f(x)$ と接するためには、$x^3 + x^2 - 8x - 4 - k = 0$ が重解を持つ必要がある。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = 3$ となる $x$ は、$3x^2 + 2x - 8 = 0$ なので、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4(3)(8)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{-2 \pm 10}{6} = -\frac{12}{6}, \frac{8}{6} = -2, \frac{4}{3}$

$x = -2$ は接線 $l$ なので、$x = \frac{4}{3}$ を考える。

$y = f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 5(\frac{4}{3}) - 4 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{20}{3} - 4 = \frac{64 + 48 - 180 - 108}{27} = \frac{-176}{27}$

接線は、$y - (-\frac{176}{27}) = 3(x - \frac{4}{3})$

$y = 3x - 4 - \frac{176}{27} = 3x - \frac{108 + 176}{27} = 3x - \frac{284}{27}$

3. 最終的な答え

アイ: -5/3

ウ: 1

エオ: 67/27

カキ: -7

ク: 1

ケコ: -7

サ: 3

シ: 8

ス: 3

セソ: 17

タ: 3

チッテ/トナ: -284/27