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与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ を計算せよ。

代数学式の計算有理化平方根
2025/6/10

1. 問題の内容

与えられた式 12+1−12−1\frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{2} - 1} を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。
12+1\frac{1}{\sqrt{2} + 1} の分母を有理化するために、分子と分母に 2−1\sqrt{2} - 1 を掛けます。
12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−12−1=2−1\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1
次に、12−1\frac{1}{\sqrt{2} - 1} の分母を有理化するために、分子と分母に 2+1\sqrt{2} + 1 を掛けます。
12−1=1×(2+1)(2−1)(2+1)=2+12−1=2+1\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 \times (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1
したがって、与えられた式は
12+1−12−1=(2−1)−(2+1)\frac{1}{\sqrt{2} + 1} - \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)
=2−1−2−1= \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1
=−2= -2

3. 最終的な答え

-2

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