座標平面上に点A(5, 0)と、中心の座標が(2, 1)でx軸に接する円Dがある。点Aを通り、円Dに接する直線のうち、x軸と異なるものを$\ell$とする。 (1) $\ell$の方程式と、$\ell$とDの接点の座標を求める。 (2) 直線$\ell$上に点B、x軸上に点Cをとる。$\triangle ABC$に円Dが内接し、$AC = BC$となるとき、B, Cの座標を求める。

はい、数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

座標平面上に点A(5, 0)と、中心の座標が(2, 1)でx軸に接する円Dがある。点Aを通り、円Dに接する直線のうち、x軸と異なるものを$\ell$とする。

(1) $\ell$の方程式と、$\ell$とDの接点の座標を求める。

(2) 直線$\ell$上に点B、x軸上に点Cをとる。$\triangle ABC$に円Dが内接し、$AC = BC$となるとき、B, Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円Dは中心(2, 1)でx軸に接するので、半径は1である。

直線$\ell$は点A(5, 0)を通るので、$y = k(x - 5)$と表せる。

$kx - y - 5k = 0$

円Dの中心(2, 1)と直線$\ell$の距離は半径1に等しいので、

$\frac{|2k - 1 - 5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$

$| -3k - 1 | = \sqrt{k^2 + 1}$

$(-3k - 1)^2 = k^2 + 1$

$9k^2 + 6k + 1 = k^2 + 1$

$8k^2 + 6k = 0$

$2k(4k + 3) = 0$

$k = 0, -\frac{3}{4}$

直線$\ell$はx軸と異なるので、$k = -\frac{3}{4}$

$\ell$の方程式は$y = -\frac{3}{4}(x - 5)$

$4y = -3x + 15$

$3x + 4y - 15 = 0$

$3x + 4y = 15$

直線$\ell$と円Dの接点を(x, y)とする。

円の方程式は$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$3x + 4y = 15$より、$y = \frac{15 - 3x}{4}$

$(x - 2)^2 + (\frac{15 - 3x}{4} - 1)^2 = 1$

$(x - 2)^2 + (\frac{11 - 3x}{4})^2 = 1$

$16(x^2 - 4x + 4) + (9x^2 - 66x + 121) = 16$

$16x^2 - 64x + 64 + 9x^2 - 66x + 121 = 16$

$25x^2 - 130x + 169 = 0$

$(5x - 13)^2 = 0$

$x = \frac{13}{5}$

$y = \frac{15 - 3(\frac{13}{5})}{4} = \frac{75 - 39}{20} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5}$

接点の座標は$(\frac{13}{5}, \frac{9}{5})$

(2)

$\triangle ABC$は$AC = BC$の二等辺三角形なので、辺ABの中点をMとすると、$CM \perp AB$

$M$は線分ABの中点なので、Mの座標は$(\frac{5 + x_B}{2}, \frac{y_B}{2})$

Mは直線$CM$上にあるので、$\angle AMC = 90^{\circ}$

直線$\ell$の傾きは$-\frac{3}{4}$なので、直線$CM$の傾きは$\frac{4}{3}$

Cはx軸上にあるので、Cの座標は$(x_C, 0)$

$M$は$(\frac{13}{5}, \frac{9}{5})$

Cの傾き=$\frac{9/5-0}{13/5-x_C} = \frac{9}{13-5x_C} = \frac{4}{3}$

$27 = 52 - 20x_C$

$20x_C = 25$

$x_C = \frac{5}{4}$

$C(\frac{5}{4}, 0)$

$M$はABの中点であるから、点A(5, 0)と点B(x, y)を結ぶ線分の中点が$(\frac{13}{5}, \frac{9}{5})$なので、

$\frac{5+x}{2} = \frac{13}{5}$, $\frac{0+y}{2} = \frac{9}{5}$

$5+x = \frac{26}{5}$, $y = \frac{18}{5}$

$x = \frac{26}{5} - 5 = \frac{1}{5}$

$B(\frac{1}{5}, \frac{18}{5})$

3. 最終的な答え

(1)

円Dの半径は1。

直線$\ell$の方程式は$3x + 4y = 15$。

$\ell$とDとの接点の座標は$(\frac{13}{5}, \frac{9}{5})$。

(2)

Mの座標は$(\frac{13}{5}, \frac{9}{5})$。

Bの座標は$(\frac{1}{5}, \frac{18}{5})$。

Cの座標は$(\frac{5}{4}, 0)$。