3次関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ について以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) 正の定数 $a$ に対して、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が極大値と一致するような $a$ の範囲を求める。 (3) 方程式 $f(x) = k$ が異なる正の解を2個持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ について以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、$f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) 正の定数 $a$ に対して、$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が極大値と一致するような $a$ の範囲を求める。

(3) 方程式 $f(x) = k$ が異なる正の解を2個持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 2$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x-1)(x-5) = 0$

$x=1, 5$

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < 1$ のとき $f'(x) > 0$

$1 < x < 5$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 5$ のとき $f'(x) > 0$

したがって、$x=1$ で極大、$x=5$ で極小となります。

極大値は $f(1) = 1 - 9 + 15 - 2 = 5$

極小値は $f(5) = 125 - 225 + 75 - 2 = -27$

(2)

$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値が $f(1) = 5$ と一致するためには、$a$ が $x=5$ より小さい必要があります。また、 $f(x) = 5$ となる $x=1$ 以外の解を求めるために $f(x)=5$ を解くと $x=1$ が重解であり、$x=7$ が解となります。したがって、$a \le 7$ となります。

$f(x)$は$x=1$のとき極大値を取るので、$a \geq 1$となる必要があります。

$f(0) = -2$ なので$f(a)$が極大値と一致するには、$a \leq 5$が必要となります。したがって、$1 \le a \le 7$を満たす任意の$a$に対して$0 \le x \le a$における$f(x)$の最大値が$f(1)$に一致するわけではありません。$0 \le a < 5$ならば$f(a)$は$x=1$で最大値を取ることはありえません。

$f(x) = 5$となる$x$を求めます。

$x^3 - 9x^2 + 15x - 2 = 5$

$x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = 0$

$(x-1)(x^2-8x+7) = 0$

$(x-1)(x-1)(x-7)=0$

$x=1, 7$

したがって、$a < 5$であれば、$f(x)=5$は$0 \le x \le a$で$x=1$のみが解となり、$f(x)$は$x=1$で最大値をとります。

$f(x)$ が $x=1$ で最大値5をとるためには、$a \leq 7$である必要があり、$f(0)=-2<5$より、$0 \leq a$ です。

極小値は-27なので，$x=5$を超えない範囲で$a$の値をとる必要があります。

$5 \le a \le 7$のときも$x=1$で最大値5をとります。

$f(x)=5$の解は$x=1,7$だから、$a=7$のとき$x=1,7$で同じ値5をとります。よって、$a$の値の範囲は$5 \le a \le 7$となります。

(3)

$f(x) = k$ が異なる正の解を2個持つのは、$x=1$で極大となる $k=5$のときと、$x=5$で極小となる$k=-27$のときです。

また、区間$0<x<1$のどこかに極大値より低い解が存在する可能性があります。$x=0$のとき$f(0)=-2$なので、$-2<k<5$の場合には$f(x)=k$の解は3つ存在します。$k>5$や$k<-27$の時には正の解は存在しません。

$k=-27$ または$k=5$ の時だけ異なる正の解を2個持つ条件を満たしますが、問題文によると$k=5$または$a<k<b$ の形式で答える必要があるため、$k$ は$k=5$の時に異なります。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 - 18x + 15$, $x=1$のとき極大値 5, $x=5$のとき極小値 -27

(2) $5 \le a \le 7$

(3) $k = 5$または $-2 < k \le 5$

$-27 < k < 5$