## 問題の内容

## 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s$, $t$ が以下の条件を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求めよ。

(1) $1 \le s + t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

(2) $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$

## 解き方の手順

**(1) $1 \le s + t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$ の場合**

1. $s + t = k$ ($1 \le k \le 2$) とおく。

2. $\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1$ となる。ここで、$\frac{s}{k} = s'$, $\frac{t}{k} = t'$ とおくと、$s' + t' = 1$，$s' \ge 0$, $t' \ge 0$ となる。

3. $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ を $\overrightarrow{OP} = \frac{s}{k}(k\overrightarrow{OA}) + \frac{t}{k}(k\overrightarrow{OB})$ と変形する。

4. ここで、$k\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA'}$, $k\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB'}$ とすると、$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OA'} + t'\overrightarrow{OB'}$ となる。

5. $k$ が一定のとき、点 $P$ は線分 $A'B'$ 上を動く。

6. $2\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$, $2\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$ とすると、$1 \le k \le 2$ の範囲で $k$ が変わるとき、点 $P$ の存在範囲は台形 $ACDB$ の周および内部となる。

**(2) $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$ の場合**

1. $s$ を固定して、$\overrightarrow{OA'} = s\overrightarrow{OA}$ とする。

2. $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA'} + t\overrightarrow{OB}$ となる。

3. $0 \le t \le 1$ の範囲で $t$ を変化させると、点 $P$ は線分 $A'C'$ 上を動く。ただし、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB}$。

4. 次に、$1 \le s \le 2$ の範囲で $s$ を変化させると、線分 $A'C'$ は線分 $AC$ から線分 $DE$ まで平行に動く。ただし、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB}$。

5. よって、点 $P$ の存在範囲は四角形 $ADEC$ の周および内部となる。

## 最終的な答え

**(1)** 台形 $ACDB$ の周および内部

**(2)** 四角形 $ADEC$ の周および内部